Análisis Vectorial.
Objetivos conceptuales
- Entender el concepto de vector y la utilidad de la dirección como propiedad fundamental.
- Conocer la notación de un vector en su presentación literal y gráfica.
- Entender el concepto de suma de vectores.
- Entender la multiplicación de un vector por un escalar.
- Usar la notación de un vector en su presentación literal y gráfica.
- Calcular las sumas y restas de vectores por medios gráficos y analíticos usando los métodos de polígono y del paralelogramo.
- Calcular la multiplicación de un vector por un escala
Estática gráfica.
|
El origen de la estática gráfica se puede rastrear al menos hasta 1725, cuando Varignon observó que el equilibrio de una armadura bidimensional simple requiere que los vectores de fuerza de la barra se unan en cada nodo para formar un polígono cerrado y que estos polígonos de fuerza podrían ensamblarse en una figura más grande conocida como diagrama de fuerza. |
Escalares y Vectores
MAGNITUDES FÍSICAS
Las magnitudes físicas las podemos clasificar en dos grupos:
Las escalares: Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un módulo (cantidad), es decir, por un número acompañado de una unidad de medida. Es el caso de masa, tiempo, temperatura, distancia. Por ejemplo, 5,5 kg, 2,7 s, 400 °C y 7,8 km, respectivamente.
Las vectoriales: Son aquellas que quedan definidas con un módulo, una dirección y un sentido. Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos dónde se encuentran aplicadas. Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha.
Las magnitudes físicas las podemos clasificar en dos grupos:
Las escalares: Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un módulo (cantidad), es decir, por un número acompañado de una unidad de medida. Es el caso de masa, tiempo, temperatura, distancia. Por ejemplo, 5,5 kg, 2,7 s, 400 °C y 7,8 km, respectivamente.
Las vectoriales: Son aquellas que quedan definidas con un módulo, una dirección y un sentido. Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos dónde se encuentran aplicadas. Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha.
Vector Geométrico.
Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud ( número). Se denota con la letra solamente A o |A|
|
Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal imaginario . También se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y, z) .
|
Sentido: está indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo)
|
Sistema de Fuerzas:
Coplanar.
Todas las fuerzas actúan en el mismo plano.
Todas las fuerzas actúan en el mismo plano.
Coplanar, paralela.
todas las fuerzas son paralelas y actúan en el mismo plano
todas las fuerzas son paralelas y actúan en el mismo plano
Coplanar, concurrente.
todas las fuerzas se cruzan en un punto común y se encuentran en el mismo plano
todas las fuerzas se cruzan en un punto común y se encuentran en el mismo plano
No coplanares, paralelos:
todas las fuerzas son paralelas entre sí, pero no todas se encuentran en el mismo plano
todas las fuerzas son paralelas entre sí, pero no todas se encuentran en el mismo plano
No coplanares, concurrentes:
todas las fuerzas se cruzan en un punto común pero no todas se encuentran en el mismo plano.
todas las fuerzas se cruzan en un punto común pero no todas se encuentran en el mismo plano.
No coplanar, no concurrente:
todas las fuerzas están actuando en diferentes direcciones .
todas las fuerzas están actuando en diferentes direcciones .
Operaciones geométricas vectoriales.
Al igual que los números, los vectores pueden operarse entre sí, a través de la suma, la resta, la multiplicación por un escalar, la división por un escalar, producto punto y producto cruz. Estos dos últimos son propios de los vectores.
Al igual que los números, los vectores pueden operarse entre sí, a través de la suma, la resta, la multiplicación por un escalar, la división por un escalar, producto punto y producto cruz. Estos dos últimos son propios de los vectores.
Cómo calcular la fuerza resultante que actúa sobre una particula.
Varias fuerzas pueden actuar sobre un cuerpo o punto, cada fuerza tiene diferente dirección y magnitud. En ingeniería, el foco está en la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. La resultante de fuerzas concurrentes (que actúan en el mismo plano) se puede encontrar usando la ley de paralelogramo , la regla del triángulo o la regla del polígono .
Varias fuerzas pueden actuar sobre un cuerpo o punto, cada fuerza tiene diferente dirección y magnitud. En ingeniería, el foco está en la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. La resultante de fuerzas concurrentes (que actúan en el mismo plano) se puede encontrar usando la ley de paralelogramo , la regla del triángulo o la regla del polígono .
Adición de vectores: procedimiento de análisis
Tenemos tres opciones para la realización de este procedimiento:
Tenemos tres opciones para la realización de este procedimiento:
- Gráfica (Paralelogramo de Fuerzas)
- Algebraica (Teorema de seno y coseno)
- Trigonométrica (geometría)
Herramientas Matemáticas que emplearemos:
El teorema del seno
es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos relativamente opuestos. Dado el triángulo:
El teorema del seno
es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos relativamente opuestos. Dado el triángulo:
Teorema del coseno.
El teorema del coseno se puede entender como una generalización del teorema de Pitágoras para triángulos cualesquiera. Nos relaciona la longitud de un lado con las longitudes de los otros y con el coseno del ángulo formado por éstos. Dado el triángulo,
El teorema del coseno se puede entender como una generalización del teorema de Pitágoras para triángulos cualesquiera. Nos relaciona la longitud de un lado con las longitudes de los otros y con el coseno del ángulo formado por éstos. Dado el triángulo,
En el siguiente simulador podrás experimentar la adición de vectores de una forma dinámica y divertida.
Esto Gracias al esfuerzo de la Universidad de Colorado que patrocina y fomenta el uso de simuladores en la tarea pedagógica de enseñanza aprendizaje y además bajo la política de Recursos Educativos Abiertos. Desde este espacio le enviamos un agradecimiento por ello. |
Instrucciones:
- Selecciona la opción que gustes (al pasar el mouse sobre los recuerdos estos cambian de color, indicando con un icono de una mano el seleccionado)
- presiona el botón izquierdo del mouse y se desplegará el simulador
- Inserta los datos arrastrando los vectores (están colocados en la parte inferior derecha) y selecciona las acciones (esquina superior derecha).
Multiplicación por un Escalar.
Explicación:
Se tiene un vector de desplazamiento de 40 unidades con dirección norte y a ese vector le sumo otro igual en magnitud y sentido, por lo tanto tendré 2 vectores de 40, si al vector le nombro "A", podré expresar la suma de ellos como el producto de un escalar por el vector:
2 . (A) = 2A
Se tiene un vector de desplazamiento de 40 unidades con dirección norte y a ese vector le sumo otro igual en magnitud y sentido, por lo tanto tendré 2 vectores de 40, si al vector le nombro "A", podré expresar la suma de ellos como el producto de un escalar por el vector:
2 . (A) = 2A
La fuerza (es un vector fijo).
En el caso de cuerpos rígidos, la línea de acción de la fuerza es importante (no su punto de aplicación si estamos interesados sólo en los efectos externos resultantes de la fuerza), trataremos la mayoría de las fuerzas como:
En el caso de cuerpos rígidos, la línea de acción de la fuerza es importante (no su punto de aplicación si estamos interesados sólo en los efectos externos resultantes de la fuerza), trataremos la mayoría de las fuerzas como:
- Efectos Externos: Cargas aplicadas (peso propio del cuerpo)
- Efectos Internos: Deformaciones, esfuerzos
Ejemplo.
Resultante de fuerzas en un sistema.
Resultante de fuerzas en un sistema.
La orza es una especie de vela rígida situada bajo el casco, completamente sumergida y con un gran peso que contribuye a la estabilidad del velero.
La vela y la orza actúan como el ala de un avión, salvo que sus planos son aproximadamente verticales y, en el caso de la orza, el fluido que la circunda es el agua.
En la figura 2 se muestra la vista en planta del velero y las fuerzas actuantes (vectores), cuya vela recibe al viento con una velocidad relativa al barco, que es la velocidad con que se percibe el viento desde el velero (viento aparente). Dicho viento produce dos fuerzas aerodinámicas: una de sustentación S perpendicular a vr , y otra de resistencia, R , en la dirección a de vr . La componente S de la sustentación es la responsable de hacer avanzar a la nave, mientras que la ax componente Sy tiende a desplazarlo de costado .
La vela y la orza actúan como el ala de un avión, salvo que sus planos son aproximadamente verticales y, en el caso de la orza, el fluido que la circunda es el agua.
En la figura 2 se muestra la vista en planta del velero y las fuerzas actuantes (vectores), cuya vela recibe al viento con una velocidad relativa al barco, que es la velocidad con que se percibe el viento desde el velero (viento aparente). Dicho viento produce dos fuerzas aerodinámicas: una de sustentación S perpendicular a vr , y otra de resistencia, R , en la dirección a de vr . La componente S de la sustentación es la responsable de hacer avanzar a la nave, mientras que la ax componente Sy tiende a desplazarlo de costado .